Horn _Schunk method

قبل از اینکه این رو شروع کنید به خوندن یه نکته مهم !!!!! من خودم دارم با یکی از استادای machin vision  کار میکنم ، خانم دکتر قیصری ، یه نصیحتی از جانب ایشون  :  برای اینکه در این موضوع بخوایم پیشرفت کنیم لازم نیست که بشینیم و ریاضیات رو از اول تا اخر بخونیم ، کافیه هر جا به مسئله ای برخورد کردیم به سراغش بریم ، پس توی خوندن این مقاله هر جا به مسئله ای برخورد کردید همونجا برید دنبالش.

در روش هورن برای حل مسئله aperture  محدودیتی را معرفی کرده ، با نام smoothness   در این محدودیت فرض بر این است که تمامی پیکسل های تصویر در حرکتی که انجام میدهند میزان سطح خاکستری ثابتی دارند (در حقیقت آقای هورن برای حل optic flow  فرضی گرفته و با اون روشهایی رو داده که این روشها در حیطه حل معادلات دیفرانسیلی است) و در این روش سعی بر این شده که با کمینه سازی اعوجاج بهترین حل رو برای این مسئله ارائه بدهد.

در این روش به flow   به دیدگاه یک تابع انرژی و اینکه این تابع انرژی باید از نظر مقدار کمینه باشد ، نگاه شده است .این تابع  برای دیمانسیون دو بعدی به صورت زیر است

نکته مهم : term فوق محدودیت مهمی است که توسط هورن وارد این زمینه شد و به یاد داشته باشیدش!!!!

 به طوریکه Iy,It,Ix مشتقات  مقدار روشنایی عکس در طول محورهای x,y و بردار محور زمان هستند بردار

 optic flow   است و پارامتر آلفا (regularisation parameter) یک ضریب تنظیم ثابت است که درجه smoothness را معین میکند. مقادیر بیشتر آلفا به smooth  شدن هرچه بیشتر flow  میشود.(به نقل از مقاله Barron, Fleet and Beauchemin این مقدار آلفا در 0.5 نتایج خوبی را در بر دارد)این تابع از حل معادلات مرتبط  اویلر-لاگرانژ کمینه میشود که عبارتند از :

به طوریکه L تابع زیر انتگرال عبارت انرژی است .که بصورت زیر بیان میشود

بطوریکه اندیسهایi در بالا توضیح داده شدند.همچنین عملگر دلتا اشاره به عملگر لاپلاسین دارد :

در عمل laplacian   تقریبی عددی است که با استفاده از دیفرانسیل محدود(Finite Differences) بدست میآید و ممکن است به فرم زیر نوشته شود

به طوری که u (با ر) میانگین وزندار u که در همسایگی حول pixel  در نقطه (x,y) است. با نکات گفته شده معادله  فوق به صورت زیر نیز نوشته میشود

وu,v, ممکن است برای هر پیکسل در عکس حل شوند. باید به این نکته توجه داشت که چون حل به نقاط همسایگی وابسته است پس به محض به روز شدن پیکسل ها این حل باید تکرار شود. Gauss-Seidel equations :

که K+1 اشاره به تکرار بعدی دارد.(اگر مقدار k=0 آنگاه u,v به مقدار اولیه تخمین که برابر صفر است اشاره دارد)

(به نقل از مقاله Barron, Fleet and Beauchemin) چون این روش (به همین فرم توضیح داده شده) روشی است که  سرچشمه خطاهای زیادی است میتوان قبل از اعمال این روش از روشهای زیر استفاده کرد (برای کمتر شدن خطا)
(در مورد این که چرا خطا تولید میکنه ، خود مقاله بارون رو یه ترجمه کوچولو دارم میکنم ، اونجا توضیح خوبی وجود داره)

-. بهتره ماسکی با ضرائب  (1 و-8 و 0و8 و-1) * 0.08333  استفاده کنیم

-.استفاده از پیش فیلتر گوسی با انحراف معیار 1.5 پیکسل در فضا و 1.5 پیکسل در زمان(1.5 pixel-frames)

 نکته ای در مورد روش هورن شانک :

-          در این روش چون با مشتق اول و گرادیان کار میکند پس نسبت به لبه های عکس واکنش خاصی نشان میدهد در حقیقت باید بگم که لبه ها رو نرم میکنه

-          فرضیات :

پایداری شدت روشنایی

سرعت در همسایگی تقریبا یکسان است

     -ویژگیها :

                        اطلاعات کلی(global information ) را یکپارچه میکنه

                        فقط با مشتق اول عکس کار میکنه

                        Itrative

                        با همواری لبه ها در حرکت کار میکنه

           

یه خلاصه کوچیک تا اینجا :

هورن اومد و محدودیت gradiant  و محدودیت global smoothness رو برای تخمین v(x,t) = (u(x,t),v(x,t))  استفاده کرد.با کمینه سازی اون انتگرالی که توضیح داده شد.که در اون انتگرال ضریب α اثر محدودیت global smoothness  رو نشون میده که barron   در آزمایشهای خودش 0.5 رو پیشنهاد کرد .

مراجع :

(در این مقاله از مقاله barron  و ویکی پدیا و همچنین یکی از دوستان عزیز به نام آقای عباد پیر مرادیان نیز کمک گرفتم )

robost.Stanford.edu(/)cs223b(/)index.(html)

Performance of Optic Flow Techniques(J.L.Barron…)

LITERATURE REVIEW on OPTICAL FLOW